Hoje cedo apresentei três problemas de uma competição de matemática para crianças em idade escolar marcianas. Por marciano, quero dizer húngaro.
Em meados do século XX, uma geração de matemáticos e físicos notáveis da Hungria foi humoristicamente chamada de marcianos, pois a sua inteligência era de outro planeta.
Aqui estão os quebra-cabeças novamente com soluções.
1. Controle o seu entusiasmo (13/14 anos)
Numa ilha, todos os residentes são indiferentes ou entusiasmados. Um visitante de uma terra distante foi convidado para jantar por um grupo de 10 moradores. Após o jantar, o visitante perguntou a todos os 10 membros do grupo sobre o número de habitantes entusiasmados dentro do seu grupo.
Ela recebeu as seguintes respostas: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Sabendo que as respostas dos indivíduos tímidos não podem ser maiores do que a resposta real, e as respostas dos indivíduos entusiasmados não podem ser inferiores ao número real, determine o número de habitantes entusiasmados dentro do grupo.
Solução 6
Alinhe os habitantes em uma fileira de acordo com suas respostas: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. A primeira coisa a notar é que nenhuma pessoa indiferente pode estar à direita de uma pessoa entusiasmada, então os indiferentes estão em a esquerda.
Digamos que existam exatamente 3 pessoas entusiasmadas. Se assim for, quem disse ‘4’ deve estar entusiasmado, assim como todos à sua direita, totalizando 9 pessoas entusiasmadas. Contradição! Assim podemos eliminar a solução sendo exatamente 3 habitantes entusiasmados.
Digamos que existam exatamente 4 habitantes entusiasmados. Novamente isto leva a uma contradição porque significaria que há pelo menos 8 habitantes entusiasmados. (As pessoas à direita da pessoa que disse ‘4’)
Da mesma forma, é impossível que haja 5 habitantes entusiasmados, pois isso implica pelo menos 7 habitantes entusiasmados.
Se houver 6 pessoas entusiasmadas, não há contradições. Mas se houver 7 ou mais pessoas entusiasmadas, então é impossível, pois significaria que algumas destas pessoas entusiasmadas estão a dar respostas inferiores a 7, então isto é impossível.
Assim, existem 6 pessoas entusiasmadas.
2. Logotipo ousado (idades 11/12)
A tarefa aqui é criar um logotipo 2D usando apenas triângulos equiláteros e quadrados, cada um com comprimento lateral de 1 cm. Os triângulos e quadrados devem ser colados em todos os lados, sem qualquer sobreposição.
Faça um logotipo com perímetro de 13 cm a partir das seguintes formas ou prove que é impossível:
a) Um único triângulo e alguns quadrados
b) O mesmo número de quadrados e triângulos.
c) Apenas triângulos.
d) Apenas quadrados.
Solução
um)
b)
c)
d) É impossível. Quando você cria um objeto apenas com quadrados, todos os valores de perímetro são pares, pois cada aresta deve ter uma aresta correspondente no outro lado da forma, como em um e b aqui.
3. Ladrilhos de cabeça de machado (idades 15/16)
As bordas dessas peças idênticas são quartos de círculo e seus centros são os pontos marcados. Determine a área de um ladrilho, medida em cm2visto que a altura de um ladrilho em pé é de 12 cm.
Solução 72
O topo de um ladrilho em pé é um quarto de círculo, cujo centro é o centro do ladrilho, portanto o raio do quarto de círculo é de 6 cm, e os cantos do ladrilho também estão a 6 cm do centro do ladrilho.
Podemos dissecar o ladrilho removendo os segmentos circulares na parte superior e inferior e colocando-os nos locais vazios nos lados esquerdo e direito do ladrilho. Obtemos um quadrado com diagonal de 12 cm. Se o comprimento do lado do quadrado for s, pelo Teorema de Pitágoras temos: s2 +s2 = 122. Assim2 = 72 = a área do quadrado = a área do ladrilho.
Os quebra-cabeças de hoje foram retirados do Concurso Dürer, um concurso de matemática para jovens de 10 a 18 anos que acontece na Hungria desde 2007. Se você gostou deles, há muitos mais em Explorações matemáticas para mentes jovens.
Sou o autor de Pense duas vezes: resolva os quebra-cabeças que (quase) todo mundo erra, uma coleção de enigmas contra-intuitivos que fazem você pensar sobre o que pensar – enquanto desfruta do prazer de ser enganado. As perguntas não são perguntas ‘caprichosas’; em vez disso, revelam os nossos preconceitos e raciocínios equivocados.
Pense duas vezes: resolva os quebra-cabeças simples (quase) todo mundo erra. Para apoiar o Guardian e o Observer, solicite seu exemplar em Guardianbookshop.com. Taxas de entrega podem ser aplicadas. (Nos EUA, o livro se chama Puzzle Me Twice.)
Tenho montado um quebra-cabeça aqui em segundas-feiras alternadas desde 2015. Estou sempre em busca de ótimos quebra-cabeças. Se você gostaria de sugerir um, envie-me um e-mail.
